電磁気学　ガウスの法則　微分形

静電場の法則を局所的な法則に書き換えるために積分形を微分形に書き直す。

f:id:v_heisenberg:20201107174819p:plain

図１

図1の微小閉曲面で面積分 \int_{S_0}A・ndsを考える。ｘ軸に垂直な面で面積分すると\int_{S_0x}\vec{A}(x,y,z)・\vec{n}dsである。Sx上の積分でｙ→ｙ＋Δｙｚ→ｚ＋Δｚ

だけ積分するから

\int_{S_x1}\vec{A}(x,y,z)・\vec{n}ds=\int_{y}^{y+Δy}\int_{z}^{z+Δz}\vec{A}・\vec{n}dzdy

Sx1上の法線ベクトルはx軸負の向きだから\vec{n}=\vec{-e_x}より

\vec{A}(x,y,z)・\vec{e_x}=A_x(x,y,z)より

\int_{Sx₁}\vec{A}(x,y,z)・\vec{n}ds=-\int_{y}^{y+Δy}\int_{z}^{z+Δz}\vec{A_x}(x,y,z)dzdy\tag{1}

x+Δxでのx軸に垂直な面をSx₂とするとSx₂上の法線ベクトルはx軸正の向きだから\vec{n}=\vec{e_x}より

\int_{Sx₂}\vec{A}(x,y,z)・\vec{n}ds=\int_{y}^{y+Δy}\int_{z}^{z+Δz}\vec{A_x}(x+Δx,y,z)dzdy\tag{2}

a→a+hまでの積分（h：微小量）で

\int_{a}{a+h}f(x)dx=F(a+h)-F(a)=f(a)hであるから(1)+(2)して

\int_{Sx₁}\vec{A}(x,y,z)・\vec{n}ds+\int_{Sx₂}\vec{A}(x,y,z)・\vec{n}ds

=-\int_{y}^{y+Δy}\int_{z}^{z+Δz}\vec{A_x}(x,y,z)dzdy+\int_{y}^{y+Δy}\int_{z}^{z+Δz}\vec{A_x}(x+Δx,y,z)dzdy

=A_x(x+Δx,y,z)ΔyΔz-A_x(x,y,z)ΔyΔz

右辺にΔxをかけると

=\frac{A_x(x+Δx,y,z)-A_x(x,y,z)}{Δx}ΔxΔyΔz

=\frac{A_x(x+Δx,y,z)-A_x(x,y,z)}{Δx}ΔV

=\frac{\partial(A_x)}{\partial(x)}ΔV

すべての面で合わせると

\int_{ΔS₀}\vec{A}(x,y,z)・\vec{n}ds=(\frac{\partial(A_x)}{\partial(x)}+\frac{\partial(A_y)}{\partial(y)}+\frac{\partial(A_z)}{\partial(z)})ΔV

=∇・\vec{A}ΔV

この微小面積を集めたS₀は

\int_{S_0}\vec{A}(x,y,z)・\vec{n}ds=\int_{V_0}∇・\vec{A}dv

これをガウスの定理と呼ぶ。