電磁気学　ポアソン方程式 - v

真空中の静電場の基本法則は微分形の局所的な法則に書き直された。すなわち

$∇・\vec{E}(r)=\frac{\rho(r)}{ε_0}\tag{1}$

$∇×\vec{E}(r)=0\tag{2}$

となる。また、静電場が渦なしの条件を満たすことから、それが静電ポテンシャルΦ（ｒ）によって

E(r)=-∇Φ(r)

この式を（1）式に代入すると

$∇^2\phi(r)=-\frac{\rho(r)}{ε_0}$

∇・∇=Δから電荷のない真空中では

ΔΦ（ｒ）=0

これをラプラスの方程式という。

　ある電荷を与えられたときポアソンの方程式を満たすポテンシャルΦ(r)がみつかったとしよう。そのときこのΦ(r)にラプラス方程式を満たす関数φ(r)を加えて

Φ’(r)=Φ(r)+φ(r)

という関数を作ると

$∇^2\phi'(r)=∇^2\phi(r)+∇^2\varphi(r)$

$\nabla^2\varphi(r)=0$ より

$\nabla^2\phi'(r)=-\frac{\rho(r)}{\varepsilon_0}$

となりポアソン方程式を満たす。

　このように、電荷分布を与えても、ポアソン方程式をポテンシャルというだけでは無数の可能性がある。そのため条件を付ける必要がある。

例えば|r|→∞でΦ(r)→０というような領域の境界の条件を加えると一つに決まる。このように注目している領域の境界でポテンシャルに課せられる条件を、境界条件という。ポアソン方程式からその解として定まる静電ポテンシャルについて、その一般的な性質をいろいろ知ることができる。

　（1）静電ポテンシャルは、電荷のないところでは極大、極小にならない。

　関数が極値を取るときは一次微係数が０で二次係数は正か負の値をとって０にならない。電荷のない点でポテンシャルの満たすべきラプラス方程式は $\nabla^2\phi(r)=0$ であるからρ(r)=0の点でΦ(r)は極大、極小になりえない。

　(2)ある領域の内部に電荷がなく、領域の境界で $\phi(r)=\phi_0$ の境界条件が課せられているときには、ポテンシャルは領域内のすべての点で $\phi(r)=\phi_0$ となる。

　ポテンシャルΦ(r)が教会で一定値を取り、かつその領域内で空間変化をしているとすれば、Φ(r)は領域内のどこかの点で最大または最小になる。ところが、領域内に電荷はなく、また(1)によれば電荷のない点でポテンシャルは最大、最小になりえない。したがって、ポテンシャルが空間変化することはありえず、領域内のすべての点で $\phi(r)=\phi_0$ となることがわかる。

　この性質を用いてポアソン方程式の解について次の重要な結論を導くことができる。

　電荷分布と境界条件が与えられているとき、ポアソンの方程式の解はただ1つに決まる。

すなわち、同じポアソンの方程式と同じ境界条件を満たすポテンシャルが2つ以上存在しないということである。

　これによりポアソンの方程式から静電場が一つに決まる。つまり、ガウスの法則と渦なしの法則により静電場の性質を言い尽くすことができる。こうしてこの2つの法則を’静電場の基本法則’と呼ぶことができる。