電磁気学　静電ポテンシャル - v

点Oから点Pまで、保存力Fを加えて動かすのに要する仕事Wは

$W(\vec{r_o}→\vec{r})=\int_\vec{r_o}^\vec{r}\vec{F}・d\vec{r}$

電場Eの中に置かれた電荷ｑは、電場からｑEの力を受ける。これを静止させるためにF＝－ｑEを加える。この時必要な仕事は

$W=-q\int_\vec{r_o}^\vec{r}\vec{E}・d\vec{r}$

となる。

　静電ポテンシャルを「動かすのに要する単位電荷あたりの仕事」として定義する。すると

$\phi(\vec{r})=\frac{W}{q}=-\int_\vec{r_o}^\vec{r}\vec{E}・d\vec{r}\tag{1}$

と定義される。

Fが保存力でない時、(1)のような関数を定義できない。

次に微分形で表してみる。

　点A（位置ｒ）と点B（位置ｒ＋Δｒ）における静電ポテンシャルの差

　ΔΦ＝Φ（ｒ＋Δｒ）－Φ（ｒ）

を考える。静電ポテンシャルの定義式より

$\phi(\vec{r}+Δ\vec{r})-\phi(\vec{r})=-\int_\vec{r_o}^{\vec{r}+Δ\vec{r}}\vec{E}・d\vec{r}-(-\int_\vec{r_o}^\vec{r}\vec{E}・d\vec{r})$

$=-\int_\vec{r_o}^{\vec{r}+Δ\vec{r}}\vec{E}・d\vec{r}\tag{2}$

ここで点Aと点Bは十分に近いとする。すると

$\phi(\vec{r}+Δ\vec{r})-\phi(\vec{r})=-\vec{E}・Δ\vec{r}\tag{3}$

ここでΔΦ=Φ(r+Δr)-Φ(r)は

$Δ\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x}Δx+\frac{\partial\phi}{\partial y}Δy+\frac{\partial\phi}{\partial z}Δz=∇\phi・Δ\vec{r}$

であることを用いると（3）式は

$∇\phi・Δ\vec{r}=-\vec{E}・Δ\vec{r}$

よって

$\vec{E}=-∇\phi$

積分で表すと

$\phi(\vec{r})=-\int_\vec{r_o}^\vec{r}\vec{E}・d\vec{r}\tag{4}$

微分で表すと

$\vec{E}=-∇\phi$

　電場Eは静電ポテンシャルΦを用いればΦの勾配にマイナスをかけたものとして与えられる。

　マイナスがかかることで負のポテンシャル勾配の場合に正の向きの力がはたらく

　ポテンシャルの勾配（変化率）が大きいほど電場は大きい。