電磁気学　点電荷の作る静電ポテンシャル

点電荷のつくる静電ポテンシャルを求めてみる。位置 $\vec{r_i}$ にある点電荷Qiが位置 $\vec{r}$ につくる電場をEとすると

$\vec{E(\vec{r})}=\frac{Q_i}{4πε_0}\frac{\vec{r}-\vec{r_i}}{|{\vec{r}-\vec{r_i}}|^3}\tag{1}$

この $\vec{E(\vec{r})}$ に対して、

$\phi(\vec{r})=-\int_\vec{r_0}^\vec{r}\vec{E(\vec{r}')}・d\vec{r'}\tag{2}$

を求める。

電場は保存力なので直線の経路をとる。(1)式に（2）式を代入すると

$\phi(\vec{r})=-\int_\vec{r_0}^\vec{r_c}\frac{Q_i}{4πε_0}\frac{\vec{r'}-\vec{r_i}}{|\vec{r'}-\vec{r_i}|^3}・d\vec{r'}$

と書ける。 $\vec{r''}=\vec{r'}-\vec{r_i}$ とおくと、 $\vec{r_i}$ は定数より、 $d\vec{r''}=d\vec{r'}$ から

$=-\frac{Q_i}{4πε_0}\int_{\vec{r_0}-\vec{r_i}}^{\vec{r_c}-\vec{r_i}}\frac{\vec{r''}}{|\vec{r''}|^3}・d\vec{r''}$

$r''=|\vec{r''}|$ とすれば、 $\vec{r''}・d\vec{r''}=r''dr''$ より、

$=-\frac{Q_i}{4πε_0}\int_{|\vec{r_0}-\vec{r_i}|}^{|\vec{r_c}-\vec{r_i}|}\frac{dr''}{r''^2}=\frac{Q_i}{4πε_0}\left(\frac{1}{|\vec{r_c}-\vec{r_i}|}-\frac{1}{|\vec{r_0}-\vec{r_i}|}\right)$

Φ＝０の基準点を無限遠にとると $|\vec{r_0}|→∞$ から

$\phi(\vec{r_c})=\frac{Q_i}{4πε_0}\frac{1}{|\vec{r_c}-\vec{r_i}|}$

と表せる。

複数電荷の場合

$\vec{E(\vec{r})}=\frac{1}{4πε_0}\sum\limits_i\frac{Q_i}{|\vec{r}-\vec{r_i}|}$

連続分布する電荷のつくる静電ポテンシャル

空間を微小体積ΔViに区切り、点電荷 $ΔQ_i=\rho(\vec{r_i})ΔV_i$

の集合とみなす。すると

$\phi(\vec{r})=\frac{1}{4πε_0}\sum\limits_i\frac{\rho(\vec{r_i})ΔV_i}{|\vec{r}-\vec{r_i}|}$

とかける。微小量の和を積分に直せば

$\phi(\vec{r})=\frac{1}{4πε_0}\int\frac{\rho(\vec{r'})}{|\vec{r}-\vec{r'}|}・dV'$